NAPNE - LISTA DE REVISÃO - MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. (Enem 2019) Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado em uma loja. Negociou com o gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1 % ao mês. O primeiro pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de R$ 202,00 O segundo pagamento será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de R$204,02. Para concretizar a compra, o gerente emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista negociado com o cliente, correspondendo ao financiamento aprovado. O valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal é de a) 398,02 b) 400,00 c) 401,94 d) 404,00 e) 406,02 SOLUÇÃO: Exercícios similares: (https://www.youtube.com/watch?v=kVBSHPXgNUg&t=28s) Como a taxa é de 1% ao mês, a primeira prestação, de 202 reais, paga um mês após a compra, já está com um acréscimo de 1%, ou seja, já foi multiplicada por 1,01. Isso quer dizer, que para saber o valor dessa prestação um mês antes, basta dividir por 1,01. A segunda prestação, de 204,02 reais, foi paga dois meses após a compra, ou seja, foi multiplicada por 1,01 x 1,01. Logo, para saber o valor dessa prestação dois meses antes, basta dividir por 1,012. Assim, tem-se que o valor P, pago à vista é dado por: P = 202 / 1,01 + 204,02 / (1,01)2 Efetuando-se essas duas divisões: (202 reais) / (1,01) = 200 reais (204,02 reais) / (1,01)2 = (204,02 reais) / 1,0201 = 200 reais. Logo. P = 200 reais + 200 reais = 400 reais. A opção correta é a letra B. 2. (Enem 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação P é calculado em função do número de prestações n segundo a fórmula: P = (5000 * 1,013n * 0,013) / (1,013n – 1) Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013, 2,602 como aproximação para log 400 e 2,525 como aproximação para log 335. De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 SOLUÇÃO: Temos que achar o número de parcelas (n), para que a prestação máxima P seja igual a 400 reais. São dados log 1,013 = 0,005 ; log 400 = 2,602 e log 335 = 2,525. Substituindo P = 400 na fórmula P = (5000 * 1,013n * 0,013) / (1,013n – 1), temos: 400 = (5000 * 1,013n * 0,013) / (1,013n – 1). Podemos encarar isso como uma proporção: 400 / 1 = (5000 * 1,013n * 0,013) / (1,013n – 1), ou seja, 400 está para 1 assim como (5000 * 1,013n * 0,013) está para (1,013n – 1). Utilizando as propriedades de proporções, ou seja, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos: 1 * (5000 * 1,013n * 0,013) = 400 * (1,013n – 1) Fazendo a multiplicação, no primeiro membro, 5000*0,013 = 65 e usando a propriedade distributiva no segundo membro, temos: 65 * 1,013n = 400 * 1,013n – 400 400 = 400 * 1,013n – 65 * 1,013n 400 = 335 * 1,013n 1,013n = 400 / 335 Aplicando-se logaritmo decimal nos dois membros da igualdade: log 1,013n = log (400 / 335) Utilizando as propriedades dos logaritmos, log bn = n*log b e log (b/c) = log b – log c, temos: n * log 1,013 = log 400 – log 335 Como são dados log 1,013 = 0,005; log 400 = 2,602 e log 335 = 2,525, temos: n * 0,005 = 2,602 – 2,525 0,005n = 0,077. Multiplicando-se os dois termos por mil, tem-se: 5n = 77, logo n = 77 / 5 = 15,4. Logo, o menor número de parcelas é igual a 16. A opção correta é a letra D. 3. (Enem 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 minutos. Use 0,477 como aproximação para log 3 e 1,041 como aproximação para log 11 O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30°C é mais próximo de a) 22 b) 50 c) 100 d) 200 e) 400 SOLUÇÃO: Fator de desconto de 1% é 100% – 1% = 99% = 99 / 100 = 0,99. Como a redução é de 1% a cada 30 minutos, ou seja, a cada meia hora, a equação que dá a temperatura T a cada hora é T = 3000 * 0,992t (cada duas “meias-horas” temos uma hora completa) Para calcular o tempo necessário para que a temperatura da liga atinja, basta substituir T por 30 na equação T = 3000 * 0,992t Então, fazendo T = 30 na equação T = 3000 * 0,992t , temos: 30 = 3000 * 0,992t 0,992t = 30 / 3000. Dividindo-se numerador e denominador por 30, temos; 0,992t = 1 / 100 Como são dados logaritmos decimais, log 3 = 0,477 e log 11 = 1,041, vamos aplicar log nos dois membros da igualdade. log 0,992t = log (1/100) Utilizando a propriedades dos logaritmos, log bn = n*log b, temos: 2t * log 0,99 = log (1/100) Utilizando as propriedades dos logaritmos, log bn = n*log b, log (b/c) = log b – log c e log(b*c)=log b + log c, vamos calcular cada logaritmo separadamente: log 0,99 = log (99/100) = log 99 – log 100 = log (32 * 11) – log 100 = = 2*log3 + log 11 – log 100 = 2 * 0,477 + 1,041 – 2 = 0,954 + 1, 041 – 2 = – 0,005. log (1/100) = log 1 – log 100 = 0 – 2 = – 2 Substituindo na equação 2t * log 0,99 = log (1/100), temos: 2t * (– 0,005) = – 2. Multiplicando-se os dois termos por -1 e efetuando a multiplicação no primeiro membro, 2 * 0,005 = 0,01, temos: 0,01 t = 2 t = 2 / 0,01 = 200 / 1 = 200 horas. A opção correta é a letra D. 4. (Enem 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t maior ou igual 1? a) P(t) = 0,5 * t-1 + 8000 b) P(t) = 50 * t-1 + 8000 c) P(t) = 4000 * t-1 + 8000 d) P(t) = 8000 * (0,5t)t -1 e) P(t) = 8000 * (1,5)t-1 SOLUÇÃO: O fator de aumento para um crescimento de 50% é dado por 100% + 50% = 150 % = 150/100 = 1,5. Assim, a cada aumento de 50%, o número de unidades é multiplicado por 1,5. 1º ano: P(1) = 8000 unidades. 2º ano: aumento de 50% em relação ao ano anterior: P(2) = 8000 * (1,5)1. 3º ano: aumento de 50% em relação ao ano anterior: P(3)= 8000 * 1,5 * 1,5 = 8000 x (1,5)2. 4º ano: aumento de 50% em relação ao ano anterior: P(3)= 8000 * 1,5 * 1,5 * 1,5 = 8000 x (1,5)3. Logo, tº ano: P(t) = 8000 * (1,5)t-1. Obs. A sequência do número de unidades é uma PG cujo primeiro termo a1=8000 e a razão q = 1,5. Como o termo geral da PG é dado por an=a1*qn-1, temos: P(t)=8000*(1,5)t-1. A opção correta é a letra E. (mais exercícios de fator de aumento: https://www.youtube.com/watch?v=FLgloPAUScc ) 5. Enem 2015) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 180.000,00 a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso. Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de a) 2075,00 b) 2093,00 c) 2138,00 d) 2255,00 e) 2300,00 SOLUÇÃO: A cada mês, 500 reais são abatidos do saldo devedor de 180.000 mil reais. Após o pagamento da nona parcela, o saldo devedor ficou reduzido a: R$180.000,00 – 9 * R$500,00 = R$175.500,00. Portanto, o valor da décima prestação é igual a 500 reais + 1% do saldo devedor devido antes do pagamento da 10ª parcela, ou seja, o saldo devedor após o pagamento da 9ª parcela. Logo: 10ª prestação = 500 reais + 1% de 175.500 reais = 500 + 0,01 * 175500 = = 500 + 1755 = 2255 reais. A opção correta é a letra D. 6. (Enem 2000) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os pontos possíveis, é de R$ 21.000,00 e esse valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, João deverá esperar: a) dois meses, e terá a quantia exata. b) três meses, e terá a quantia exata. c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$225,00. d) quatro meses, e terá a quantia exata. e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$430,00. SOLUÇÃO: O fator de aumento correspondente a taxa de juros de 2% é 100% + 2% = 102% do que era antes = 102 / 100 = 1,02. 1º mês: 20.000 x 1,02 = 20.400,00 2º mês: 20.400 x 1,02 = 20.808,00 3º mês: 20.808 x 1,02 = 21.224,16 Portanto, no terceiro mês ele comprará o carro e ainda lhe sobrará aproximadamente 225 reais. A opção correta é a letra C. (mais exercícios de fator de aumento: https://www.youtube.com/watch?v=FLgloPAUScc